圆的标准方程教案大全

圆的标准方程是高中数学必学、必考的一个知识点，也是学生最容易丢分的点。这个时候就体现数学老师的教学功底了，为了更好的把知识点揉碎了教给学生，老师需要写相关的教案。下面是小编为大家收集整理的圆的标准方程教案大全。

圆的标准方程教案1

㈠课时目标

1． 掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。

2． 待定系数法之应用。

㈡问题导学

问题1：写出圆心为（a,b）,半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。 -2ax-2by+ =0

问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？

① ；            ② 1                     

③ 0；            ④ -2x+4y+4=0

⑤ -2x+4y+5=0;             ⑥ -2x+4y+6=0

㈢教学过程（www.fwsir.com）

 [情景设置]

  把圆的标准方程 展开得 -2ax-2by+  =0

  可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：

    +Dx+Ey+F=0                                        ①

  提问:方程表示的曲线是不是圆?一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗?

  [探索研究]

  将①配方得 :    ( )  ②

  将方程 ②与圆的标准方程对照.

  ⑴当 ＞0时, 方程 ②表示圆心在 (- ),半径为 的圆.

  ⑵当 =0时,方程①只表示一个点(- ).

  ⑶当 ＜0时, 方程①无实数解,因此它不表示任何图形.

  结论: 当 ＞0时, 方程 ①表示一个圆, 方程 ①叫做圆的一般方程.

  圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了形式上的特点:

  ⑴ 和 的`系数相同,不等于0;

  ⑵没有xy这样的二次项.

 以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件

[知识应用与解题研究]

[例1]  求下列各圆的半径和圆心坐标.

  ⑴ -6x=0;     ⑵ +2by=0(b≠0)

[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。

 分析：用待定系数法设方程为   +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。

[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。

 分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。

 反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。

㈣提炼总结

1． 圆的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。

2． 二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件是：A=C≠0且B=0。

3． 圆的方程两种形式的选择：与圆心半径有直接关系时用标准式，无直接关系选一般式。

4． 两圆的位置关系（相交、相离、相切、内含）。

㈤布置作业

1． 直线l过点P（3，0）且与圆 -8x-2y+12=0截得的弦最短，则直线l的方程为：

2． 求下列各圆的圆心、半径并画出它们的图形。

⑴    -2x-5=0；  ⑵ +2x-4y-4=0

 3．经过两圆 +6x-4=0和 +6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。

圆的标准方程教案2

教材分析

圆是学生在初中已初步了解了圆的知识及前面学习了直线方程的基础上来进一步学习《圆的标准方程》，它既是前面圆的知识的复习延伸，又是后继学习圆与直线的位置关系奠定了基础。因此，本节课在本章中起着承上启下的重要作用。

教学目标

1. 知识与技能：探索并掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

2. 过程与方法：通过圆的标准方程的学习，掌握求曲线方程的方法，领会数形结合的思想。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。

教学重点难点

以及措施

教学重点：圆的标准方程理解及运用

教学难点：根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。

根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循“直观认知――操作体会――感悟知识特征――应用知识”的认知过程，设计出包括：观察、操作、思考、交流等内容的教学流程。并且充分利用现代化信息技术的教学手段提高教学效率。以此使学生获取知识，给学生独立操作、合作交流的机会。学法上注重让学生参与方程的推导过程，努力拓展学生思维的空间，促其在尝试中发现，讨论中明理，合作中成功，让学生真正体验知识的形成过程。

学习者分析

高一年级的学生从知识层面上已经掌握了圆的相关性质；从能力层面具备了一定的观察、分析和数据处理能力，对数学问题有自己个人的看法；从情感层面上学生思维活跃积极性高，但他们数学应用意识和语言表达的能力还有待加强。

教法设计

问题情境引入法 启发式教学法 讲授法

学法指导

自主学习法 讨论交流法 练习巩固法

教学准备

ppt课件 导学案

回顾复习

(2分钟)

1.观赏生活中有关圆的图片

2.回顾复习圆的定义，并观看圆的生成flash动画。

提问：直线可以用一个方程表示,那么圆可以用一个方程表示吗？

自主学习

(5分钟)

1.介绍动点轨迹方程的求解步骤：

（1）建系：在图形中建立适当的坐标系；

（2）设点：用有序实数对（x,y）表示曲 线上任意一点M的坐标;

（3）列式：用坐标表示条件P(M)的方程 ;

（4）化简：对P(M)方程化简到最简形式;

2.学生自主学习圆的方程推导，并完成相应学案内容，教师介绍求轨迹方程的步骤后，引导学生自学圆的标准方程，自主学习课本中圆的标准方程的推导过程，并完成导学案的内容，并当堂展示。

合作探究(10分钟)

1.根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件有哪些？

2.点M（x0，y0）与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：

（1）点在圆上

（2）点在圆外

（3）点在圆内

教师引导学生分组探讨，从旁巡视指导学生在自学和探讨中遇到的问题，并鼓励学生以小组为单位展示探究成果。

学生展开合作性的探讨，并陈述自己的研究成果。

当堂训练（18分钟）

1.求下列圆的圆心坐标和半径

C1: x2+y2=5

C2: (x-3)2+y2=4

C3: x2+(y+1)2=a2（a≠0）

2. 以C(4,-6)为圆心,半径等于3的圆的标准方程

3. 设圆(x-a)2+(y-b)2=r2

则坐标原点的位置是（ ）

A.在圆外 B.在圆上

C.在圆内 D.与a的取值有关

4.写出下列各圆的标准方程(1)圆心在原点,半径等于5

(2)经过点P(5,1),圆心在点C(6,-2);

(3)以A(2,5),B(0,-1)为直径的圆.

5.下列方程分别表示什么图形

(1) x2+y2=0

(2) (x-1)2 =8-(y+2)2

6.巩固提升：已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l：x-y+1=0上，求圆C的标准方程并作图

指导学生就不同条件下给出的圆心和半径关系，求解圆的标准方程这两个要素展开训练。

学生自主开展训练，并纠正学习中所遇到的问题

巩固所学知识，并查缺补漏。

回顾小结

(1分钟)

1.你学到了哪些知识？

2.你掌握了哪些技能？

3.你体会到了哪些数学思想？

采用提问的形式帮助学生回顾和分析本节所学。

学生思考并从知识、技能和思想方法上回顾总结。

作业布置

(1分钟)

课本87页习题2-2

A组的第1道题

教学反思

本节教学主要遵循“回-导-学-展-讲-练-结”的高效课堂教学模式，遵循学生学习的主体地位，鼓励学生自主思考和探讨。

教学中要积极鼓励学生多思考总结，在判断点与圆的位置关系中，要遵从学生个性化的发展思路，鼓励学生创造性的解决问题。

圆的标准方程教案3

一、教材分析

本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

二、教学目标

1、知识目标

使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。

2、能力目标

(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力

(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。

三、重点、难点

1、重点：

圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。

2、难点：

圆的方程的应用。

四、教法

先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用PPT展示椭圆的生活图形。运用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象力。在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试

五、教学步骤

（

一)应用PPT导入新课

首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。

(二)讲授新课

1、新知识学习(学生亲自尝试得出圆的标准方程)

在学生回顾确定直线的要素——两点(或者一点和斜率)确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合

在平面直角坐标系中，圆心可以用坐标表示出来，半径长是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点的坐标满足的关系式。

经过化简，得到圆的标准方程

2、知识巩固

(1)求下列各圆的标准方程。(口答)

①圆心坐标为(-4，-3)半径长度为6;

② 圆心坐标为(2，5)半径长度为3;

(2)求下列各圆的圆心坐标和半径。

3、知识的延伸

根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。

例1要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数;根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何。

(三)知识的运用

例2给出不在同一直线上的三点，可以画出一个三角形，三角形有唯一的外接圆，因此可以求出他的标准方程。

由于圆的标准方程含有三个参数 , ,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。引导学生找出求三个参数的方法，让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程

六、小结

知识概括

1、如何求圆的标准方程(求圆心和半径或待定系数法)

2、如何判断点和圆的位置关系

思想方法

(1)建立平面直角坐标系，将曲线用方程来表示，然后用方程来研究曲线的性质，这是解析几何研究平面图形的基本思路，本节课的学习对于研究其他圆锥曲线有示范作用。

(2)曲线与方程之间对立与统一的关系正是“对立统一”的哲学观点在教学中的体现。

七、布置作业

(第127页2、3、4题)

圆的标准方程教案4

教学目的：

掌握圆的标准方程，并能解决与之有关的问题

教学重点：

圆的标准方程及有关运用

教学难点：

标准方程的灵活运用

教学过程：

一、导入新课，探究标准方程

二、掌握知识，巩固练习

练习：

⒈说出下列圆的方程

⑴圆心（3，-2）半径为5⑵圆心（0，3）半径为3

⒉指出下列圆的圆心和半径

⑴（x-2）2+(y+3)2=3

⑵x2+y2=2

⑶x2+y2-6x+4y+12=0

⒊判断3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置关系

⒋圆心为（1，3），并与3x-4y-7=0相切，求这个圆的方程

三、引伸提高，讲解例题

例1、圆心在y=-2x上，过p(2,-1)且与x-y=1相切求圆的方程（突出待定系数的数学方法）

练习：

1、某圆过(-2,1)、(2,3)，圆心在x轴上，求其方程。

2、某圆过A(-10,0)、B(10,0)、C(0,4)，求圆的方程。

例2：某圆拱桥的跨度为20米，拱高为4米，在建造时每隔4米加一个支柱支撑，求A2P2的长度。

例3、点M(x0,y0)在x2+y2=r2上,求过M的圆的切线方程(一题多解,训练思维)

圆的标准方程教案5

教学目标

(一)知识目标

1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径;

2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。

(二)能力目标

1.进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力;

2.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力;

3.通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

(三)情感目标

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。

教学重、难点

(一)教学重点

圆的标准方程的理解、掌握。

(二)教学难点

圆的标准方程的应用。

教学方法

选用引导―探究式的教学方法。

教学手段

借助多媒体进行辅助教学。

教学过程

Ⅰ.复习提问、引入课题

师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹?

生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y);②写出适合某种条件p的点M的集合P={M︳p(M)｝;③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0;④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点(一般省略)。[多媒体演示]

师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。[给出标题]

师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52即x2+y2=25.

若半径发生变化，圆的方程又是怎样的?能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程?

生：x2+y2=r2.

师：你是怎样得到的?(引导启发)圆上的点满足什么条件?

生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即，亦即x2+y2=r2.

师：x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C(a,b)点(如图)，方程又是怎样的?

生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，

由两点间的距离公式得

即：(x-a)2+(y-b)2=r2

Ⅱ.讲授新课、尝试练习

师：方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程.

特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.

师：圆的标准方程由哪些量决定?

生：由圆心坐标(a,b)及半径r决定。

师：很好!实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。

1、写出下列各圆的标准方程：[多媒体演示]

①圆心在原点，半径是3：________________________

②圆心在点C(3，4)，半径是

：______________________

③经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)：_______________________

2、变式题[多媒体演示]

①求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。

答案：(x-1)2+(y-3)2=

②已知圆的方程是(x-a)2+y2=a2,写出圆心坐标和半径。

答案：C(a,0),r=|a|

Ⅲ.例题分析、巩固应用

师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.

[例1]已知圆的方程是x2+y2=17，求经过圆上一点P(

)的切线的方程。

师：你打算怎样求过P点的’切线方程?

生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。

师：斜率怎样求?

生：……

师：已知条件有哪些?能利用吗?不妨结合图形来看看(如图)

[例1/]圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点(2，3)的切线方程。

答案：2x+3y=13即：2x+3y-13=0

师：发现规律了吗?(学生纷纷举手回答)

生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。

师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点(xo,yo),则结论将会发生怎样的变化?大胆地猜一猜!

生：xox+yoy=r2.

师：这个猜想对不对?若对，可否给出证明?

生：……

[例2]已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点P(xo,yo)的切线的方程。

解：如图，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数

∵半径OP的斜率K1=

，∴切线的斜率K=-

=-

∴所求切线方程：y-yo=-

(x-xo)

即：xox+yoy=xo2+yo2亦即：xox+yoy=r2.(教师板书)

当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。

归纳总结：圆的方程可看成x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo替换，可得到切线方程

[例3]右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20M，拱高OP=4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。(精确到0.01M)

引导学生分析，共同完成解答。

师生分析：①建系;②设圆的标准方程(待定系数);③求系数(求出圆的标准方程);④利用方程求A2P2的长度。

解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为

(0，b),半径为r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.

∵P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：

解得：b=-10.5,r2=14.52

∴圆的方程为x2+(y+10.5)2=14.52.

将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程

且取y>0

得：y=

≈14.36-10.5=3.86(M)

答：支柱A2P2的长度约为3.86M。

Ⅳ.课堂练习、课时小结

课本P77练习2，3

师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题.

Ⅴ.问题延伸、课后作业

(一)若P(xo,yo)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时，試求过P点的圆的切线方程。

课本P81习题7.7:1，2，3，4

(二)预习课本P77～P79

教学设计说明

设计思想：

在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。

设计理念：

设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。

设计思路：

本节课的设计与教材的呈现方式有所不同，教材只是教学的蓝本，教师在理解教材编写意图的基础上，应发挥主观能动作用，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此，本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。第一、二个例题，从特殊到一般给出切线方程，培养学生探究问题的兴趣，不断完善自己的认知结构。第三个例题，充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识;同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。

在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。

媒体设计：

采用powerpoint媒体。本节知识容量大，同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。

圆的标准方程教案6

一、教材分析

本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

二、教学目标

1、 知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。

2、 能力目标：

(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。

三、重点、难点、疑点及解决办法

1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。

2、难点：圆的方程的应用。

3、解决办法 充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

四、学法

在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。采取学生共同探究问题的学习方法。

五、教法

先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。

六、教学步骤

（一）导入新课 首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。

（二）讲授新课

1、新知识学习在学生回顾确定直线的要素——两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合在平面直角坐标系中，圆心 可以用坐标 表示出来，半径长 是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点 的坐标 满足的关系式。经过化简，得到圆的标准方程

2、知识巩固

学生口答下面问题

1、求下列各圆的标准方程。

① 圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；

② 圆心坐标为（2，5）半径长度为3；

2、求下列各圆的圆心坐标和半径。

3、知识的延伸根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。

例1要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何。

（三）知识的运用

例2给出不在同一直线上的三点，可以画出一个三角形，三角形有唯一的外接圆，因此可以求出他的标准方程。由于圆的标准方程含有三个参数 , ,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。引导学生找出求三个参数的方法，让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程

（四）小结一、知识概括

1、 圆心为 ，半径长度为 的圆的标准方程为

2、 判断给出一个点，这个点与圆什么关系。

3、 怎样建立一个坐标系，然后求出圆的标准方程。

4、思想方法

（1）建立平面直角坐标系，将曲线用方程来表示，然后用方程来研究曲线的性质，这是解析几何研究平面图形的基本思路，本节课的学习对于研究其他圆锥曲线有示范作用。

（2）曲线与方程之间对立与统一的关系正是“对立统一”的哲学观点在教学中的体现。

圆的标准方程教案7

一、教学目标

【知识与技能】

掌握圆的标准方程，能够在给出基本条件的情况下求出圆的标准方程。

【过程与方法】

经历探究圆的标准方程的过程，提升逻辑推理、直观想象与数学运算能力。

【情感、态度与价值观】

获得成功的体验，增强学习数学的兴趣与信心。

二、教学重难点

【重点】圆的标准方程。

【难点】圆的标准方程的探究过程。

三、教学过程

(一)导入新课

简单回顾之前所学内容——在平面直角坐标系中用坐标、用方程的方法表示一些点、直线，由确定直线的几何要素推导出直线的方程。

提出能不能在平面直角坐标系中表示其他图形。大屏幕展示一些圆形物品，请学生举例更多圆形物品。

提问：能否用方程的思想在平面直角坐标系中表示圆?引出课题。

(二)讲解新知

板书画平面直角坐标系。提问：什么是圆?如何确定一个圆?

在学生回答的基础上，设圆心为 A(a，b)，半径长为r。

提问:在圆上任取一点M(x，y)作为代表，它满足什么条件?能否进而用集合的

方式表示这个圆?

学生能够根据圆上的点到圆心的距离等于半径得到MA=r，进而根据圆的定义将

此圆表示成集合P={MMA=r}。

请学生代入坐标表示圆上的点满足的条件。学生能根据两点间的距离公式写出

(x-a)+(y-b) =r。

教师进一步变形为(x-a)+(y-b) =r。与学生共同分析数与形的对应关系。确

立圆的标准方程。

请学生写一些圆的方程。结合具体方程强调符号等细节特征。

提问:圆心在坐标原点，半径长为r的圆的方程是什么?

师生总结:x+y2=r。

(三)课堂练习

例1.写出圆心为A(2，-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M(5，-7)，

M2(-5，-1)是否在这个圆上。

思考:点M。(x，yo)在圆x+y=r内的条件是什么?在圆外呢?

例 2.DABC 的三个顶点的坐标分别是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求它的外

接圆的方程。

(四)小结作业

小结:学生自主总结收获。

作业:完成课后习题;将圆的标准方程中的平方项展开并整理,思考一般形式如何。

圆的标准方程教案8

教学目标：

1、知识与技能目标:理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程，能从圆的标准方程熟练地写出它的圆心坐标与半径。

2、过程与方法目标：通过对圆的标准方程的推导及应用，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力。

3、情感与价值观目标：通过学生主动参与圆的相关知识的探讨和几何画板在解与圆有关问题中的应用，激发学生数学学习的兴趣，培养学生的创新精神。

教学重点：

圆的标准方程的推导及应用。

教学难点：

利用圆的几何性质求圆的标准方程。

教学方法：

本节课采用“诱思探索”的教学方法，借助学生已有的知识引出新知;在概念的形成与深化过程中，以一系列的’问题为主线，采用讨论式，引导学生主动探究，自己构建新知识;通过层层深入的例题配置，使学生思路逐步开阔，提高解决问题的能力。

同时借助多媒体，增强教学的直观性，有利于渗透数形结合的思想，同时增大课堂容量，提高课堂效率。

教学过程：

一、复习引入 ：

1、 提问：初中平面几何学习的哪些图形?

初中平面几何中所学是两个方面的知识：直线形的和曲线形的。在曲线形方面学习的是圆，学习解析几何以来，已经讨论了直线方程，今天我们来研究最简单、最完美的曲线圆的方程。

2、提问：具有什么性质的点的轨迹是圆?

强调确定一个圆需要的的条件为：圆心与半径,它们分别确定了圆的位置与大小，

二、概念的形成：

1、让学生根据显示在屏幕上的圆自己探究圆的方程。

教师演示圆的形成过程，让学生自己探究圆的方程，教师巡视，加强对学生的个别指导，由学生讲解思路，根据学生的回答，教师展示学生的想法，将两种解法同时显示在屏幕上，方便学生对比。

学生通常会有两种解法：

解法1：(圆心不在坐标原点)设M(x,y)是一动点，点M在该圆上的充要条件是|CM|=r。由两点间的距离公式，得

=r。

两边平方，得

(x-a)2+(y-b)2=r2。

解法2：(圆心在坐标原点)设M(x,y)是一动点，点M在该圆上的充要条件是|CM|=r。由两点间的距离公式，得

=r

两边平方，得

x2+y2=r2

若学生只有一种做法，教师可引导学生建立不同的坐标系，有自己发现另一个方程。

2、圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

当a=b=0时，方程为x2+y2=r2

三、 概念深化：

归纳圆的标准方程的特点：

①圆的标准方程是一个二元二次方程;

②圆的标准方程由三个独立的条件a、b、r决定;

③圆的标准方程给出了圆心的坐标和半径。

四、 应用举例：

练习1 104页练习8-9 1、2(学生口答)

练习2 说出方程 (x+m)2+ (y+n)2=a2的圆心与半径。

例1 、根据下列条件，求圆的方程：

(1)圆心在点C(-2,1)，并且过点A(2，-2);

(2)圆心在点C(1,3),并且与直线3x-4y –6=0相切;

(3)过点A(2,3),B(4,9),以线段AB为直径。

分析探求：让学生说出如何作出这些圆，教师用几何画板做图，帮助学生理清解题思路，由学生自己解答，并通过几何画板来验证。

例2、 求过点A(0,1),B(2,1)且半径为 的圆的方程。

分析探求：鼓励学生一题多解，先让学生自己求解，再相互讨论、交流、补充，最后教师将学生的想法用多媒体进行展示。

思路一：利用待定系数法设方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = 5，将两点坐标代入，列方程组，求得a,b,再代入圆的方程。

思路二：利用圆心在圆上两点的垂直平分线上这一性质，利用待定系数法设方程为 (x-1) 2 + (y-b) 2 = 5，将一点坐标代入，列方程，求得b,再代入圆的方程。

思路三：画出圆的图形，利用直角三角形，直接求圆心坐标。

由例1、例2总结求圆的标准方程的方法。

五、反馈练习：

104页练习8-9 3(要求学生限时完成)

六、归纳总结：

学生小结并相互补充，师生共同整理完善。

1、圆的标准方程的推导;

2、圆的标准方程的形式;

3、求圆的方程的方法;

4、数学思想。

七、课后作业：(略)

圆的标准方程教案9

（一）教材

1、教材结构编排：

本节课位于直线方程之后和圆的一般方程之前，学习直线方程为后边学习圆的方程奠定了基础，而学好圆的标准方程是为了进一步学习圆的一般方程和切线方程打好基础，因此在结构上起承上启下的作用。

2、教学目标

知识目标：

（1）掌握圆的标准方程，并能根据圆的标准方程写出圆心坐标和半径、

（2）已知圆心和半径会写出圆的标准方程、

能力目标：

（1）培养学生数形结合能力、

（2）培养学生应用数学知识解决实际问题的能力

情感目标：

（1）培养学生主动探究知识，合作交流的意识。

（2）在体验数学美的过程中激发学生学习的兴趣。

3、教学重点

（1）圆的标准方程

（2）已知圆的标准方程会写出圆的圆心和半径

（3）已知圆心坐标和半径会写出圆的标准方程

4、教学难点

（1）圆的标准方程的推导

（2）圆的标准方程的应用

（二）教法

本节课采用讲练结合，启发式教学

（三）学法

1、 主动探究学习

2、 小组合作学习

（四）教学过程

1、导入

通过钟表的图片让学生了解钟表的指针头运行的轨迹是一个圆，第二个钟表是让学生了解圆是一系列的’点来构成的，第三个图是抽象出圆是由动点运行的轨迹有此形成圆的定义。

2、知识衔接

（1）圆的定义，圆上的点具备的特征性质

（2）平面上两点间的距离公式

通过复习为后边推导圆的标准方程奠定基础，降低难度。

3、新课学习

（1）推导圆的标准方程（化解难点）

怎么推出圆的标准方程，为了降低难度，可以把圆看成一个动点，既然是动点，那他的坐标是变化的，就用（x，y）表示，既然是圆上的点就应具备圆的特征性质即|CM|＝r接下来就容易推出圆的标准方程。

（2）圆的标准方程（突出重点）

先分析它的结构，圆心的横纵坐标及半径与圆的标准方程之间的关系。为了巩固这个知识安排两个练习，练习一是已知圆心坐标及半径写出圆的标准方程，练习二是已知圆的标准方程写出圆的圆心坐标和半径

（3）为了加强知识的应用，我加了一道用圆的标准方程解决实际问题的例子。这道题也是有难度的，为了降低难度，我给学生建立坐标系，让学生写出圆的标准方程，分组讨论，最后得出结论。

（4）小结本节的重点知识

（5）根据所学为了加强巩固，适当的布置作业

（五）板书设计

正中间是题目圆的标准方程，左边是圆的标准方程，及确定圆的条件，右边是例子及演板的地方，这样设计的目的是醒目，大家一看就知道本节课的重要内容。

圆的标准方程教案10

1、教学目标

（1）知识目标：

1、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；

2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程；

3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题.

（2）能力目标：

1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；

2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；

3、增强学生用数学的意识.

（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

2、教学重点、难点

（1）教学重点：圆的标准方程的求法及其应用.

（2）教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

3、教学过程

（一）创设情境（启迪思维）

问题一：

已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

[引导]：画图建系

[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）

解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径ab所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16（y≥0）

将x＝2.7代入，得

即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。

（二）深入探究（获得新知）

问题二：

1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？

答：x2＋y2＝r2

2、如果圆心在，半径为时又如何呢？

[学生活动]：探究圆的方程。

[教师预设]：方法一：坐标法

如图，设m（x,y）是圆上任意一点，根据定义点m到圆心c的距离等于r,所以圆c就是集合p={m||mc|=r}

由两点间的距离公式，点m适合的条件可表示为①

把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2

方法二：图形变换法

方法三：向量平移法

（三）应用举例（巩固提高）

i．直接应用（内化新知）

问题三：1、写出下列各圆的方程（课本p77练习1）

（1）圆心在原点，半径为3；

（2）圆心在，半径为

（3）经过点，圆心在点

2、根据圆的方程写出圆心和半径

（1）（2）

ii．灵活应用（提升能力）

问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程.

[教师引导]由问题三知：圆心与半径可以确定圆.

2、求过点，圆心在直线上且与轴相切的圆的方程.

[教师引导]应用待定系数法寻找圆心和半径.

3、已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程.

[学生活动]探究方法

[教师预设][多媒体课件演示]

方法一：待定系数法（利用几何关系求斜率—垂直）

方法二：待定系数法（利用代数关系求斜率—联立方程）

方法三：轨迹法（利用勾股定理列关系式）

方法四：轨迹法（利用向量垂直列关系式）

4、你能归纳出具有一般性的结论吗？

已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：

iii．实际应用（回归自然）

问题五：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度ab=20m，拱高op=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）。

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